2013年6月12日 18:04

博弈论初探Ⅱ【SG函数】

专题

先留一个坑。

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2013年6月12日 16:29

博弈论初探I【Nim取石子游戏】

专题

题目1:有n堆石子,第i堆有A(i)颗石子。两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根,可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法。

令C=A(1) xor A(2) xor A(3) xor ... xor A(n),若C>0,则记为利己态,用S表示,若C=0,则记为利他态,用T表示。

【定理1】对于一个S态,一定能从一堆石子中取出若干个,使其成为T态。

【证明】既然是S态,则此时C>0,我们要使得C变为0。

设C转化为二进制后,最高位的1是第p位。那么一定存在一个A(t)的二进制最高位的1是第p位。(显然,不然C的第p位不可能是1)

然后,把第t堆石子的个数变为x=A(t) xor C。因为A(t)和C的二进制最高位的1是同一位。那么异或之后这一位就变成了0。那么x一定小于A(t)。

此时的C'=A(1) xor A(2) xor ... xor A(t) xor C xor A(t+1) xor ... xor A(n)。把C带进去,得到

C'=A(1) xor A(2) xor ... xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor ... xor A(n)。显然C'=0。

所以,只要在第t堆石子中取出A(t)-x颗石子,就把S态变为了T态。


【定理2】对于一个T态,从任意一堆取任意个石子出来,都会变为S态。

【证明】用反证法。设此时第i堆的石子数变成了A(i')。此时C=0。如果C'>0,那么命题就成立了。

假设C'=0。则C'=A(1) xor A(2) xor ... xor A(i') xor... xor A(n)=0。

因为C=0。所以C xor C'=0。则A(1) xor A(2) xor ... xor A(i) xor... xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor ... xor A(i') xor... xor A(n)=0。

A(i) xor A(i')=0。A(i)=A(i')明显不对了。所以命题得证。


得到了这两个定理之后,我们可以发现,任何一个S态,我们都可以通过自己的控制将它转化成T态。而对方怎么做都是将T态再转回S态,很被动。所以只要先手是S态,总是可以根据定理1得到的策略获胜。



题目2:有n堆石子,第i堆有A(i)颗石子。两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根,可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为,求必胜的方法。

再来定义几个状态。一堆石子里只有一个石子,记为孤单堆。否则记为充裕堆。

在T态中,如果充裕堆的个数大于等于2,记为T2态,1个充裕堆,记为T1态,没有充裕堆,记为T0态。S0、S1、S2同理。

【定理3】在S0态中,若孤单堆的个数为奇数。那必输。T0态必赢。

【证明】也就是奇数个石子,每次取一个。很明显先去的人必输。


【定理4】在S1态中,方法正确就必胜。

【证明】如果孤单堆的个数是奇数,那么就把充裕堆取完;如果是偶数,就把充裕堆取的只剩1根。这样留下的就是奇数个孤单堆,对方先手。由定理3得,对方必输,己方必胜。


【定理5】S2态不可一次变为T0态。

【证明】显然,充裕堆不可能一次从2堆以上变为0。


【定理6】S2态可一次变为T2态。

【证明】由定理1得S态可以一次变为T态,而且不会一次取完整堆,那么充裕堆的个数是不会变的,由定理5得S2态不能一次变为T0态,那么转化的T态是T2态。


【定理7】T2态只能转变为S1或S2态。

【证明】由定理2得,T态一次只能变为S态。由于充裕堆数不会变为0。所以是S1或S2态。


【定理8】在S2态中,只要方法正确,就必胜。

【证明】由定理6得,先转化为T2态。由定理7,对方只能再转化回S1或S2态。由定理4,己方必胜。


【定理9】T2态必输。

【证明】同证明8。


我们得到了几个必胜态:S2,S1,T0。必输态:T2,T1,S0。


比较一下两题:

第一题的过程:S2-T2-S2-T2-.....-T2-S1-T0-S0-T0-...-S0-T0(全0)

第二题的过程:S2-T2-S2-T2-.....-T2-S1-S0-T0-S0-...-S0-T0(全0)

我们可以发现前面的过程是一样的。关键在于得到了S1态之后,怎样抉择使自己获胜。而这个是自己可以掌握的。

因此,我们只需要把T2态留给对方,迟早他会转化成S1态。己方就必胜。



HDU 1850

题意:题目1模型。首先判断是否先手必胜。如果必胜则输出第一次的可行方案数。

根据定理1,先得到C的二进制最高位的1是第p位。然后计算n个数中有多少个数最高位的1也是第p位即可。



#include<cstdio>
int a[105];
int main(){
    int n,Xor,t;
    while(scanf("%d",&n),n){
        Xor=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),Xor^=a[i];
        if(!Xor){ printf("0\n"); continue;} 
        int k=0,ans=0; while(Xor)k++,Xor>>=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i]&(1<<k-1))ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }return 0;
}

HDU 1907 

题意:有n堆糖果,每次吃任意一堆中的任意个。可以吃完一堆。不能不吃。吃完最后的负。问先手输赢情况。

很明显就是上面的题目2模型。









#include<cstdio>
int main(){
    int tc; scanf("%d",&tc);
    int n,t;
    while(tc--){
        scanf("%d",&n); int Xor=0,k=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t),k+=t>1,Xor^=t;   
        if((Xor&&k>=1)||(!Xor&&!k))printf("John\n");
        else printf("Brother\n");
    }return 0;
}

HDU 2509 也转化为题目2模型。代码大同小异。

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